Откройте для себя «Эйнштейнов» и их великую математическую тайну

Они известны как Эйнштейны, но не по имени знаменитого физика, а как игра слов на основе немецкого выражения ein stein, означающего один камень. Хотя в данном случае правильнее было бы перевести ее как одну плитку, имея в виду замкнутую форму, способную покрыть поверхность, не оставляя зазоров. Короче говоря, это тессера, но с уникальными характеристиками, которые привели к разгадке одной из величайших математических загадок.

Тессеры или плитки эйнштейновского типа характеризуются тем, что они апериодичны, а это означает, что, собранные вместе в виде мозаики, они способны покрыть бесконечную плоскость целиком, но в то же время, не образуя повторяющихся узоров, поэтому что никакой симметрии нельзя различить. Как бы вы ни делили мозаику, каждая часть уникальна, ни одна не повторяет узор другой. Эйнштейны — это мозаичный эквивалент иррациональных чисел.

Этот дизайн кажется невероятным или невозможным, потому что трудно представить, чтобы в бесконечном расширении никакие две области или секции, какими бы маленькими они ни были, не могли сосуществовать с одним и тем же мозаичным расположением. Фактически, уже более полувека математики сомневались, что это возможно. А затем, в марте 2023 года, подтвердилось открытие «шляпы»: неуловимого Эйнштейна.

Почти сразу после того, как шляпа была представлена ​​публике, различные художники и создатели использовали ее в качестве мотива для своих проектов, некоторые из которых сами по себе являются настоящими играми. Например, в этой композиции, созданной американским художником и математиком Робертом Фатауэром, вам предстоит определить, сколько рубашек и сколько шляп:

На этой мозаике шляпы превратились в черепах, и задача состоит в том, чтобы идентифицировать другую отраженную черепаху, ту, чья голова повернута влево:

Проблема существования или несуществования фигур этого типа возникла в 1961 году, когда китайский математик Хао Ван сформулировал так называемую «гипотезу Ванга», в которой он предположил, что любой набор фигур или мозаик, которые могут покрыть пространство в целом также допускает периодическую тесселяцию. Однако эта гипотеза была опровергнута всего пять лет спустя, в 1966 году, математиком Робертом Бергером, который также определил первый набор апериодических фигур: «монстра» из 20 426 фигур плитки, способного доказать апериодичность.

С этого момента многие математики приступили к открытию все меньшего набора фигур. Эти поиски возглавил в 1974 году блестящий физик и математик Роджер Пенроуз, который представил элегантное решение, основанное на двух очень простых формах, получивших название «воздушный змей» и «дротик».

Физик и математик Роджер Пенроуз представил элегантное решение, основанное на двух очень простых формах, названных «воздушный змей» и «дротик». Кредит: Собственный дизайн

С тех пор, несмотря на постоянные усилия, никому не удалось свести количество фигур к минимуму. То есть найти единственную конструкцию, способную замощить бесконечную поверхность без какой-либо периодичности.

В этой игре цель состоит в том, чтобы заполнить каждую доску, соединив соответствующие части вместе:

По иронии судьбы несколько месяцев назад, в ноябре 2022 года, Дэвиду Смиту, бывшему британскому энтузиасту математики, удалось решить неуловимую загадку. Во-первых, играя с компьютерной программой, которая позволяла ему проектировать и собирать различные фигуры. Затем, когда он нашел многообещающий дизайн, он вырезал на бумаге несколько кусочков, чтобы поэкспериментировать. Таким образом, словно играя в детскую игру, он обнаружил «шляпу», удивительно простой 13-гранный многоугольник, который, тем не менее, соответствует требованиям, предъявляемым к Эйнштейну. Вернее, стать первым Эйнштейном. Это свойство только что было продемонстрировано ученым-компьютерщиком Крейгом Капланом, к которому Смит обратился, когда узнал о своем открытии, в сотрудничестве с другими математиками в статье, которая произвела революцию в математическом сообществе. Тем более, что обнаруженная конструкция не уникальна, а лишь первая из целого ряда эйнштейнов, полученных путем изменения соотношения и размера сторон исходной формы шляпы.